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概率统计基本工具

基础回顾


随机变量

  • 离散
  • 连续

事件与概率

对于随机变量为某个取值时定义为一个事件,如X=1

概率就是该事件发生的可能,如P(X=1)

条件概率

P(B)>0时有:

P(A|B)=P(AB)P(B)

可以理解为: 当B事件发生时A事件发生的概率

独立

可以表示为:

P(AB)=P(A)P(B)P(A|B)=P(A)

条件独立

在给定C的前提下A和B独立

P(A|B,C)=P(A|C)

全概率

P(AB)=P(A)+P(B)+P(AB)P(B)=i=0nP(BAi)=i=0nP(B|Ai)P(Ai)

贝叶斯法则

P(A|B)=P(BA)P(B)=P(B|A)P(A)P(B)

经典计算: 三门问题

期望

E(X)=xxiP(X=xi)

当前仅当分布知道,我们才可能算出期望

不过我们也可以使用平均值估计期望

条件期望

E(X|Y=y)=xxiP(X=xi|Y=y)

方差

Var(x)=E(xE(x))

约等于标准差的平方,因为可以使用平均值估计期望

协方差

Cov(a,b)=E[(xEx)(yEy)]

显然也可以估计

相关性系数

Corr(x,y)=Cov(a,b)Var(a)Var(b)