随机变量

• 离散
• 连续

事件与概率

对于随机变量为某个取值时定义为一个事件,如$X=1$

概率就是该事件发生的可能,如$P(X=1)$

条件概率

当$P(B)>0$时有:

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

可以理解为: 当B事件发生时A事件发生的概率

独立

可以表示为:

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$$$P(A|B)=P(A)$$

条件独立

在给定C的前提下A和B独立

$$P(A|B,C)=P(A|C)$$

全概率

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)+P(A\cap B)$$$$P(B)=\sum _{i=0}^{n}P(B\cap A_i)=\sum _{i=0}^{n}P(B|A_i)P(A_i)$$

贝叶斯法则

$$P(A|B)=\frac{P(B\cap A)}{P(B)}=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$

经典计算: 三门问题

期望

$$E(X)=\sum _x{x}_{i}P(X=x_i)$$

当前仅当分布知道,我们才可能算出期望

不过我们也可以使用平均值估计期望

条件期望

$$E(X|Y=y)=\sum _x{x}_{i}P(X=x_i|Y=y)$$

方差

$$Var(x)=E(x-E(x))$$

约等于标准差的平方,因为可以使用平均值估计期望

协方差

$$Cov(a,b)=E[(x-Ex)(y-Ey)]$$

显然也可以估计

相关性系数

$$Corr(x,y)=\frac{Cov(a,b)}{\sqrt{Var(a)Var(b)}}$$